Matemática de 5to Año : La Circunferencia

¿Que es la Circunferencia?

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

Terminología de la Circunferencia

Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.

Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio.

Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.

Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Resultados Analíticos

Longitud de la Circunferencia

La longitud

\ell

de una circunferencia es:

\ell = 2\pi r = \pi d

Donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues

\pi \,

es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

\pi = \frac{\ell}{d} = \frac{\ell}{2r}

Área del circulo delimitado por una Circunferencia

El área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud

\ell

de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$\text{Área} = \frac{1}{2}\ell r = \pi r^2$

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a:

x^2 + y^2 = r^2\,

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,

resultando:

a = -\frac{D}{2}

b = -\frac{E}{2}

r = \sqrt{a^2 + b^2-F}

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:

(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,

, la ecuación de la circunferencia es:

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

Ecuación vectorial de la circunferencia

En el espacio vectorial R², la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:

\mathbf{r}(\theta) =(R\cos(\theta),R\sen(\theta))\,

donde

\theta \,

es el parámetro de la curva, además cabe destacar que

\theta\in[0,2\pi)

. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado.

En el espacio vectorial R³ esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R²) y r un real positivo, la ecuación vectorial

\| \mathbf{x}-\mathbf{c} \|= r

Representa una circunferencia de centro c y radio r.⁸ La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como

(r,\theta) \,

r=c. \,

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto

(s,\alpha) \,

y el radio es

c \,

, la ecuación se transforma en:

r^2 - 2 s r\cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:

\begin{cases} x= & a + r \cos t \\ y= & b + r\,\sen t \end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)

donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

\begin{cases} x= & a+r\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right )\\ y= & b+r\left ( \frac{2t}{1+t^2}\right ) \end{cases} \qquad t \in \widehat{\mathbb{R}}

donde t no sólo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.

Ecuación en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación

|z-c| = r\,

. En forma paramétrica puede ser escrita como:

z = re^{it}+c

Propiedades geométricas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente.

Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores o Disjuntas, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Ángulos en una circunferencia

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.